论有限群的阿贝尔群可表示性

一组拟均匀随机变量 $X_1,...,X_n$ 可由一个有限群 $G$ 及其 $n$ 个子群生成，相应的熵向量取决于 $G$ 的子群结构。已知通过考虑任意有限群获得的熵向量集合，比仅由阿贝尔群提供的集合要丰富得多。本文中，我们开始更详细地研究不同非阿贝尔群族关于它们所产生的熵向量的情况。特别地，我们探讨这样一个问题：一个给定的非阿贝尔群 $G$ 和某些固定的子群 $G_1,...,G_n$ 是否最终会给出与某个阿贝尔群 $A$ 及其子群 $A_1,...,A_n$ 相同的熵向量，在这种情况下，我们称 $(A, A_1,..., A_n)$ 表示了 $(G, G_1, ..., G_n)$。如果对于子群 $G_1,...,G_n$ 的任何选择，都存在某个阿贝尔群 $A$ 表示 $G$，我们就称 $G$ 对于 $n$ 是阿贝尔（群）可表示的。我们完全刻画了二面体群、拟二面体群和双循环群关于其阿贝尔可表示性的特征，以及 $n=2$ 的情形，对此我们证明了一个群是阿贝尔可表示的当且仅当它是幂零的。此问题的动机在于理解网络编码的非线性编码策略以及网络信息论的容量区域。