用有限群违反 Ingleton 不等式

众所周知，n 个随机变量的熵向量与从有限群及其 n 个子群获得的某个群可表征向量之间存在一一对应关系。然而，如果仅关注阿贝尔群，则并非所有熵向量都能获得。这解释了 Dougherty 等人证明的事实：线性网络码在一般网络编码问题中无法达到容量（因为线性网络码构成一个阿贝尔群）。所有阿贝尔群可表征向量，以及由此所有由线性网络码生成的熵向量，都满足一个称为 Ingleton 不等式的线性不等式。在本文中，我们研究寻找能产生违反 Ingleton 不等式的可表征向量的非阿贝尔有限群的问题。通过精细的计算机搜索，我们发现对称群 S_5 是违反 Ingleton 不等式的最小群。对该群及其子群结构的仔细研究表明，它属于违反 Ingleton 不等式的族 PGL(2,p)，其中 p > 3 为素数，即元素取自有限域 F_p 的 2×2 非奇异矩阵的射影群。因此，该群族是构建比线性网络码更强大的网络码的良好候选。