论有限群中的英格尔顿不等式违反

给定n个离散随机变量，其熵向量是由所有非空随机变量子集的联合熵得到的2^n-1维向量。众所周知，这样的熵向量与从某个有限群及其n个子群获得的特定群可表征向量之间存在一一对应关系[3]。这种对应关系可能有助于刻画熵向量空间和设计网络编码。如果注意力仅限于阿贝尔群，则并非所有熵向量都能获得。这解释了Dougherty等人[4]证明的事实，即线性网络编码在一般网络编码问题中无法达到容量。所有阿贝尔群可表征向量，以及由此产生的所有由线性网络编码生成的熵向量，都满足一个称为英格尔顿不等式的线性不等式。因此，识别违反英格尔顿不等式的群是很有意义的。在本文中，我们研究了寻找能产生违反英格尔顿不等式的可表征向量的非阿贝尔有限群的问题。通过精细的计算机搜索，我们发现对称群S_5是违反英格尔顿不等式的最小群。对该群及其子群结构的仔细研究表明，它属于违反英格尔顿不等式的族PGL(2,q)，其中q≥5为素数幂，即元素在有限域F_q中的2×2非奇异矩阵的射影群。我们进一步利用群作用理论解释了这一族。我们还将构造扩展到更一般的群，如PGL(n,q)和GL(n,q)。因此，这里识别出的群族是构造比线性网络编码更强大的网络编码的良好候选，我们讨论了构造此类群网络编码的一些考量。