有限群的幂零图
群论
2024-08-05 v1
摘要
若 G 为非幂零群，且 nil(G) = {g ∈ G : <g, h> 为幂零群对所有 h∈G}，则 G 的幂零图是由顶点集 G-nil(G) 构成的图，其中两个Distinct顶点若生成幂零子群则相邻。本文研究了有限非幂零群的幂零图的若干性质。本文给出幂零图 clique 数和连通分支数下的下界，分别以其 Fitting 子群的大小及其强自中心子群的个数为参数。证明了对任意 n，称为 n 或 n-1 为素数时，对称群的幂零图为不连通的，且不存在有限非幂零群具有自完备的幂零图。对于二面体群 Dn，确定其幂零图的连通分支数为 n（当 n 为奇数时）或 n 的 2'-部分加 1（当 n 为偶数时）。此外，给出了当 q 为素幂时，PSL(2,q) 幂零图连通分支数的公式。最后研究了包含其幂零图连通分支的特定子集是否包含其 Sylow p 子群的必要充分条件；并证明了有限非幂零群 G 的 nil(G) 为偶数时，其幂零图为非欧拉图。
引用
@article{arxiv.2408.00910,
title = {On the Nilpotent Graph of a finite Group},
author = {Jaime Torres and Ismael Gutierrez and E. J. Garcia-Claro},
journal= {arXiv preprint arXiv:2408.00910},
year = {2024}
}