普罗有限阿贝尔群的同态编码器 I

设$\{G_i :i\in\N\}$为一族有限阿贝尔群。我们称子群$G\leq \prod\limits_{i\in \N}G_i$是\emph{阶可控的}，若对每个$i\in \mathbb{N}$，存在$n_i\in \mathbb{N}$，使得对任一$c\in G$，存在$c_1\in G$满足$c_{1|[1,i]}=c_{|[1,i]}$、$supp (c_1)\subseteq [1,n_i]$，且order$(c_1)$整除order$(c_{|[1,n_i]})$。本文研究阶可控子群的结构。我们证明每个阶可控的普罗有限阿贝尔群都包含一个子集$\{g_n : n\in\N\}$，该子集拓扑生成此群且其元素$g_n$均具有有限支撑。作为推论，我们得到了允许借助拓扑群同构对阶可控普罗有限阿贝尔群进行编码的充分条件。这些结果在群码中的一些应用将随后于\cite{FH:2021}中给出。