关于Sidon序列的Erdos与Renyi定理的推广

Erdős和Rényi提出猜想，Vu证明了：对于所有$h \ge 2$和所有$\epsilon > 0$，存在$g = g_h(\epsilon)$以及一个整数序列$A$，使得任何数表示为$A$中$h$个元素之和的有序表示数以$g$为界，且$|A \cap [1,x]| \gg x^{1/h - \epsilon}$。我们给出了该结果的两个新证明。第一个证明包含对此类序列的显式构造。第二个证明是概率性的，并证明了存在满足$g_h(\epsilon) \ll \epsilon^{-1}$的此类$g$，改进了Vu得到的界$g_h(\epsilon) \ll \epsilon^{-h+1}$。最后，我们使用“变更方法”为$g_3(\epsilon)$得到了更好的界，从而对$B_3[g]$序列的增长获得了更精确的估计。