Rödl定理的进一步推广

固定 $\varepsilon>0$ 及一个非空图 $H$。Rödl 在 80 年代的一个著名定理指出,每个不含 $H$ 的诱导拷贝的图 $G$ 都包含一个线性大小的 $\varepsilon$-受限集 $S\subseteq V(G)$,即 $S$ 在 $G$ 或其补图中诱导出一个最大度至多为 $\varepsilon\vert S\vert$ 的子图。该结果有两个推广:$\bullet$ 在定量方面,Nikiforov(以及后来的 Fox 和 Sudakov)将条件“不含 $H$ 的诱导拷贝”放宽为“至多有 $\kappa\vert G\vert^{\vert H\vert}$ 个 $H$ 的诱导拷贝,其中 $\kappa>0$ 依赖于 $H$ 和 $\varepsilon$”;以及 $\bullet$ 在定性方面,Chudnovsky、Scott、Seymour 和 Spirkl 最近证明了存在依赖于 $H$ 和 $\varepsilon$ 的 $N>0$ 使得 $G$ 是 $(N,\varepsilon)$-受限的,即 $V(G)$ 可划分为至多 $N$ 个 $\varepsilon$-受限子集。一个自然的共同推广断言:对每个图 $G$,若其至多有 $\kappa\vert G\vert^{\vert H\vert}$ 个 $H$ 的诱导拷贝,则对依赖于 $H$ 和 $\varepsilon$ 的某些 $\kappa,N>0$,$G$ 是 $(N,\varepsilon)$-受限的。遗憾的是这不成立,但我们证明了对每个 $\varepsilon>0$,仍存在 $\kappa$ 和 $N$,使得对每个 $d\ge0$,每个至多有 $\kappa d^{\vert H\vert}$ 个 $H$ 的诱导拷贝的图都含有一个至少有 $\vert G\vert-d$ 个顶点的 $(N,\varepsilon)$-受限诱导子图。这统一了上述两个定理,并且对 $d$ 的每个取值在 $\kappa$ 和 $N$ 的意义下是最优的。