有限 Abel 群的 $h$-临界数

对于有限 Abel 群 $G$ 和正整数 $h$，$G$ 的无限制（ resp.~受限）$h$-临界数 $\chi(G,h)$（resp.~$\chi \hat{\;}(G,h)$）定义为：若存在，使得 $G$ 的每个 $m$-子集的 $h$ 重无限制（resp.~受限）和集等于 $G$ 本身的最小 $m$ 值。在此，我们确定了所有 $G$ 和 $h$ 对应的 $\chi(G,h)$；并证明了关于 $\chi \hat{\;}(G,h)$ 的若干结果，包括任意 $G$ 且 $h = 2$ 的情形、任意 $G$ 且 $h$ 较大的情形，以及偶数阶循环群 $\mathbb{Z}_n$ 对任意 $h$ 的情形。我们还给出了 $\chi \hat{\;}(\mathbb{Z}_n,3)$ 的一个下界，我们认为该下界对所有 $n$ 都是精确的——这一猜想推广了由 Gallardo, Grekos 等人提出并由 Lev 证明（针对大 $n$）的猜想。