基于分量空间的算子组极小-极大关系

对于Banach空间 $\mathbb{F}$ 上的紧算子组 $\mathcal{T}=(T_1,\ldots,T_d)$ 与 $\mathcal{S}=(S_1,\ldots,S_d)$，考虑算子组的联合 $p$-算子范数，研究 $\mathcal{T}$ 到 $d$ 维子空间 $\mathbb{F}^d\mathcal{S}:=\{\mathbf{z}\mathcal{S}:\mathbf{z}\in\mathbb{F}^d\}$ 的距离 $dist(\mathcal{T},\mathbb{F}^d\mathcal{S})$。我们建立了 $dist(\mathcal{T},\mathbb{F}^d\mathcal{S})$ 与 $dist(T_i,\mathbb{F}S_i)$（$1\leq i\leq d$）之间的关系。证明当 $p=\infty$ 时，$dist(\mathcal{T},\mathbb{F}^d\mathcal{S})=\max_{1\leq i\leq d}dist(T_i,\mathbb{F}S_i)$；当 $1\leq p<\infty$ 时，在充分条件下，$dist(\mathcal{T},\mathbb{F}^d\mathcal{S})^p=\sum_{1\leq i\leq d}dist(T_i,\mathbb{F}S_i)^p$。作为推论，在充分条件下得到Birkhoff-James正交性的等价性：$\mathcal{T}\perp_B\mathbb{F}^d\mathcal{S}\Leftrightarrow T_i\perp_B S_i$。进一步，我们探讨 $\mathcal{T}$ 沿 $\mathcal{S}$ 方向的一边Gateaux导数与 $T_i$ 沿 $S_i$ 方向的Gateaux导数之间的关系。利用该结果，我们研究了 $\mathcal{T}$ 与 $T_i$ 的光滑性之间的关系。通过将值域为 $\ell_\infty^d$ 的算子识别为函数元组，我们有效地将所得结果应用于值域为 $\ell_\infty^d$ 的算子，并推导出关于函数元的优美结果。