向量值 $L_p$-空间上压缩半群的 $H^\infty$ 函数演算与最大不等式

设 $\{T_t\}_{t>0}$ 是 $L_p(X,\mu)$ 上的强连续正压缩半群，其中 $1<p<\infty$。设 $E$ 是另一测度空间 $(\Omega,\nu)$ 上可测函数的 UMD Banach 格。对于 $f\in L_p(X; E)$，定义 $$\mathcal M(f)(x, \omega)=\sup_{t>0}\frac1t\Big|\int_0^tT_s(f(\cdot,\omega))(x)ds\Big|,\quad (x,\omega)\in X\times\Omega.$$ 则以下最大遍历不等式成立 $$\big\|\mathcal M(f)\big\|_{L_p(X; E)}\lesssim \big\|f\big\|_{L_p(X; E)},\quad f\in L_p(X; E).$$ 如果额外假设半群 $\{T_t\}_{t>0}$ 是解析的，则 $\{T_t\}_{t>0}$ 可扩展为 $L_p(X; E)$ 上的解析半群，且上述不等式中的 $\mathcal M(f)$ 可替换为以下扇形最大函数 $$\mathcal T_\theta(f)(x, \omega)=\sup_{|{\rm arg}(z)|<\theta}\big|T_z(f(\cdot,\omega))(x)\big|$$ 对于某个 $\theta>0$。在后者的解析性假设下，且若 $E$ 是 Hilbert 空间与 UMD Banach 空间之间的复插值空间，则 $\{T_t\}_{t>0}$ 可扩展为 $L_p(X; E)$ 上的解析半群，其负生成元具有有界的 $H^\infty(\Sigma_\sigma)$ 演算，其中 $\sigma<\pi/2$。