$q$-变分 Hörmander 泛函演算与 Schrödinger 及波动极大值估计

本文是工作 [DK] 的延续。在 [DK] 中，我们证明了极大值估计 $$\left\|\sup_{t > 0} |m(tA)f| \right\|_{L^p(\Omega,Y)} \leq C \|f\|_{L^p(\Omega,Y)}$$ 该估计针对作用于 $L^p(\Omega,Y)$（$Y$ 为 UMD 格）且允许 Hörmander 泛函演算（将全纯 $H^\infty$ 演算强化为以量化方式在 $(0,\infty)$ 上可微的符号 $m$）的扇形算子 $A$，其中 $m : (0, \infty) \to \mathbb{C}$ 是在 $\infty$ 处具有特定衰减的 Hörmander 类符号。在本文中，我们证明在上述相同条件下，标量函数 $t \mapsto m(tA)f(x,\omega)$ 几乎处处具有有限的 $q$-变分，其中 $q > 2$。这推广了 [BMSW,HHL,HoMa1,HoMa,JSW,LMX] 近期的工作，他们在其他情况中考虑了 $m(tA) = e^{-tA}$，即由 $-A$ 生成的半群。作为推论，我们将 [JSW] 中关于欧几里得空间球面平均的估计扩展到了 UMD 格赋值空间的情况。第二个主要结果给出了极大值估计 $$\left\|\sup_{t > 0} |m(tA) f_t| \right\|_{L^p(\Omega,Y)} \leq C \|f_t\|_{L^p(\Omega,Y(\Lambda^\beta))}$$ 针对相同的 $A$ 且 $m$ 的条件与上述类似，但 $f_t$ 本身依赖于 $t$，使得 $t \mapsto f_t(x,\omega)$ 属于 $(\mathbb{R}_+, \frac{dt}{t})$ 上的 Sobolev 空间 $\Lambda^\beta$。我们应用此结果证明了 Schrödinger（情况 $A = -\Delta$）或波动（情况 $A = \sqrt{-\Delta}$）解传播子 $t \mapsto \exp(itA)f$ 的极大值估计。然后由此推导出当 $A$ 为傅里叶乘子算子或具有边界条件的开域 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^d$ 上的微分算子时，Carleson 逐点收敛问题 [Car]$$\exp(itA)f(x,\omega) \to f(x,\omega) \text{ a. e. }(x,\omega) \quad (t \to 0+)$$ 的变体。