沿等差数列的d阶区域近端关系与幂零系统

引入并研究了沿等差数列的 $d$ 阶区域近端关系，即对 $d\in \N$ 的 ${\bf AP}^{[d]}$。结果表明，若 $(X,T)$ 是一个满足 ${\bf AP}^{[d]}=\Delta$ 的拓扑动力系统，则 $(X,T)$ 的每个遍历测度同构于一个 $d$ 步pro-幂零系统，从而 $(X,T)$ 具有零熵。此外，证明了若 $(X,T)$ 是一个严格遍历 distal 系统，且具有极大拓扑与可测 $d$ 步 pro-幂零系统同构的性质，则对每个 $d\in {\mathbb N}$ 有 ${\bf AP}^{[d]}={\bf RP}^{[d]}$。由此推出，对极小 $\infty$-pro-幂零系统，对每个 $d\in {\mathbb N}$ 有 ${\bf AP}^{[d]}={\bf RP}^{[d]}$。构造了一个严格遍历 distal 系统且具有离散谱的例子，其极大等度连续因子不与Kronecker因子同构。