CF-Nil系统与二维ergodic平均值的收敛性

若拓扑动力系统$(X,T)$为严格ergodic且最大可测$k$阶pro-Nil因子与最大拓扑$k$阶pro-Nil因子在保 measure 系统中 coincide，则称其为CF-Nil($k$)。通过构建特定的"CF-Nil"模型，我们证明了对于任意ergodic系统$(X,\mathcal{X},\mu,T)$，任意nilsequence $\{\psi(m,n)\}_{m,n\in\mathbb{Z}}$以及任意$f_1,\dots,f_d\in L^{\infty}(\mu)$，平均值\n \dfrac{1}{N^{2}} \sum_{m,n=0}^{N-1} \psi(m,n)\prod_{j=1}^{d}f_{j}(T^{{m+jn}}x) \end{equation}\n 当N趋向无穷大时，点态收敛。此外，我们证明了在无零熵条件下，对非交换变换的某些二维平均值在$L^2$意义下收敛。