一种用于长时间行为统计性质的新度量

设 $(X,T)$ 为带度量 $d$ 的拓扑动力系统。我们利用置换群 $S_n$ 定义新函数 $\overline{F}(x,y)=\limsup\limits_{n \to +\infty} \inf\limits_{\sigma \in S_n} \frac 1n \sum\limits_{k=1}^n d(T^k x,T^{\sigma(k)} y)$。当 $x,y \in X$ 为泛型点时，证明 $F(x,y)=\lim\limits_{n \to +\infty} \inf\limits_{\sigma \in S_n} \frac 1n \sum\limits_{k=1}^n d(T^k x,T^{\sigma(k)} y)$ 存在。应用该函数，我们证明 $(X,T)$ 唯一遍历当且仅当对任意 $x,y \in X$ 有 $\overline{F}(x,y)=0$。给出了遍历测度和物理测度由 $\overline{F}(x,y)$ 刻画的结论。我们引入弱均值等度连续的概念，并证明 $(X,T)$ 弱均值等度连续当且仅当对所有 $f \in C(X)$ 时间平均 $f^{*}(x)=\lim\limits_{n \to +\infty}\frac 1n \sum\limits_{k=1}^n f(T^k x)$ 存在且连续。