关于弱 Banach 均值等度连续性的注记

考虑赋予度量 $d$ 的拓扑动力系统 $(X, T)$。我们引入了一个新函数 $\overline{BF}(x, y) = \limsup_{n-m \rightarrow +\infty} \inf_{\sigma \in S_{n,m}} \frac{1}{n-m} \sum_{k=m}^{n-1} d\left(T^{k} x, T^{\sigma(k)} y\right)$，其中利用了置换群 $S_{n,m}$。证明了当 $x, y \in X$ 是一致 generic 点时，$BF(x, y)$ 存在。利用该函数，我们引入了弱 Banach 均值等度连续性的概念，并证明了动力系统 $(X, T)$ 表现出弱 Banach 均值等度连续性当且仅当对于所有 $f \in C(X)$，一致时间平均 $f_B^{*}(x) = \lim_{n-m \rightarrow +\infty} \frac{1}{n-m} \sum_{k=m}^{n-1} f\left(T^{k} x\right)$ 是连续的。最后，我们证明了在传递系统的情况下，弱 Banach 均值等度连续性与弱均值等度连续性是等价的。