正熵系统中的渐近对

我们证明，在正熵的拓扑动力系统 $(X,T)$ 中存在真正的（正向）渐近对，即满足 $x\not= y$ 且 $\lim_{n\to +\infty} d(T^n x,T^n y)=0$ 的对 $(x,y)$。更确切地说，我们考虑一个正熵的 $T$-遍历测度 $\mu$，并证明属于真正渐近对的点集具有测度 $1$。当 $T$ 可逆时，稳定类（即渐近等价的等价类）在 $T^{-1}$ 下不稳定：对于 $\mu$-几乎处处的 $x$，存在不可数个与 $x$ 渐近的 $y$，且使得 $(x,y)$ 是关于 $T^{-1}$ 的 Li-Yorke 对。我们还证明了渐近对在拓扑熵对集合中是稠密的。