顺从群拓扑作用中的渐近对

我们对可数群 $G$ 的拓扑作用中的 $\prec$-渐近对给出定义，其中 $\prec$ 是 $G$ 上类型为 $\mathbb Z$ 的序。随后我们证明：若 $G$ 是可数顺从群（amenable group），且 $(X,G)$ 是熵为正的拓扑 $G$-作用，则对每一个多序 $(\tilde{\mathcal O},\nu,G)$ 及 $\nu$-几乎每一个序 $\prec\,\in\tilde{\mathcal O}$，在 $X$ 中存在一个 $\prec$-渐近对。该结果是 Blanchard-Host-Ruette 定理（经典拓扑动力系统，即 $\mathbb Z$ 作用）的推广。我们还证明：对每一个可数顺从群 $G$，以及由平铺系统生成的每一个多序，每一个熵为零的拓扑 $G$-作用都有一个扩张，该扩张对此多序中任一 $\prec$ 都不含 $\prec$-渐近对。这两个定理共同给出了熵为零的拓扑 $G$-作用的刻画：$(X,G)$ 拓扑熵为零当且仅当对由熵为零的平铺系统生成的 $G$ 上任意多序 $\tilde{\mathcal O}_{\boldsymbol{\mathsf T}}$，存在 $(X,G)$ 的一个扩张 $(Y,G)$，其对任意 $\prec\,\in\tilde{\mathcal O}_{\boldsymbol{\mathsf T}}$ 都不含 $\prec$-渐近对；等价地，存在 $G$ 上的一个多序 $(\tilde{\mathcal O},\nu,G)$，使得对 $\nu$-几乎任意 $\prec\,\in\tilde{\mathcal O}$，$(Y,G)$ 中都不存在 $\prec$-渐近对。