顺从群作用的符号扩张与比较性质

符号扩张熵定理（SEET）描述了通过将动力系统扩张为子移位来实现其无损数字化的可能性。它给出了符号扩张熵（及所需符号数）的估计。与测度论情形中 Kolmogorov--Sinai 熵作为估计不同，在拓扑情形中该任务超出了经典熵理论。需要来自熵结构扩展理论的工具。本文的主要目标是证明可数顺从群作用的 SEET：设可数顺从群 $G$ 通过同胚作用于紧度量空间 $X$，令 $\mathcal M_G(X)$ 表示 $X$ 上 $G$-不变概率测度的单纯形。函数 $E$ 在 $\mathcal M_G(X)$ 上等于符号扩张 $\pi:(Y,G)\to (X,G)$ 的扩张熵函数 $h^\pi$，其中 $h^\pi(\mu)=\sup\{h_\nu(Y,G): \nu\in\pi^{-1}(\mu)\}$（$\mu\in\mathcal M_G(X)$），当且仅当 $E$ 是 $(X,G)$ 熵结构的仿射上包络。该陈述之前给出了从 $\mathbb Z$-作用改编的熵结构与上包络概念。在完全一般性下我们证明了稍弱的 SEET 版本，其中符号扩张被准符号扩张替代，即子移位与零熵平铺系统的连接形式的扩张。平铺系统的概念是早期工作的主题，本文中我们回顾并补充了那里发展的理论。SEET 的完整版本对或为剩余有限或具有比较性质的群得证。为描述定理的范围，我们将论文大部分篇幅用于比较性质。我们在该方面的主要结果表明所有次指数群均具有比较性质（从而满足 SEET）。