一致生成元、带嵌入的符号扩展与周期轨道结构

对于拓扑动力系统 $(X, T)$，我们将一致生成元定义为一个有限可测分割，使得所生成过程中的对称柱集的直径一致收缩至零。一致生成元的存在性与最优基数问题引导我们走向符号扩展理论中的新挑战。起初我们证明，一致生成元可以与所谓的带嵌入的符号扩展（即允许从原像中选取等变可测选择子的符号扩展）等同。由此出发，我们专注于此类扩展，并致力于刻画不变测度上相应扩展熵函数的集合。对于非周期零维系统，我们证明该集合与任意符号扩展中的扩展熵函数集合相一致，而根据符号扩展的一般理论，已知后者与系统熵结构的所有仿射超包络的集合相一致。特别地，我们重新得出（继 [Bu16] 之后）一个非周期零维系统是渐近 h- 膨胀的当且仅当它允许一个同构的符号扩展。接下来我们转向具有周期点的系统，并引入了周期尾结构的概念，该概念刻画了周期轨道的局部增长率。最后，我们成功精确识别了带嵌入的符号扩展中所需的扩展熵函数集合：它们是通常熵结构的所有仿射超包络，且位于由周期尾结构确定的某个阈值函数之上。这种刻画使我们能够（并在示例中精确计算）估计一致生成元的最优基数。