论拓扑熵的可计算性：一种一般化方法

符号系统的动力学，如多维有限型子移位或元胞自动机，已知与可计算性理论密切相关。特别地，描述并分类此类系统拓扑熵的恰当工具被证明具有计算本性。这些符号系统的重要性部分源于它们在理解非符号空间上更一般系统中的作用。本文旨在从可计算性视角在这一更一般、未必符号化的设定中研究拓扑熵。类比于有效子移位，我们考虑一般度量空间上有效紧集上的可计算映射，并研究其拓扑熵的可计算性性质。我们表明即便在此一般设定下，熵总是 $\Sigma_2$-可计算数。我们随后研究各种动力学与分析约束如何影响该上界，并证明依据所考虑约束的不同可通过不同方式降低该界。特别地，我们得到所有 $\Sigma_2$-可计算数已可在 $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ 上满射可计算映射类中实现，但当限制到扩张映射时该界降至 $\Pi_{1}$（或上）-可计算数。另一方面，若我们将环境空间的几何从符号的 $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ 改为单位区间 $[0,1]$，则我们发现颇为不同的情况——我们表明 $[0,1]$ 上可计算系统的可能熵恰为 $\Sigma_{1}$（或下）-可计算数，且当我们将系统类限制到二次族时该刻画精确降至可计算数。