中间因子熵的稠密性

我们考虑拓扑动力系统 $(X,T)$，其中 $X$ 是紧可度量空间，$T$ 表示可数顺从群 $G$ 通过同胚在 $X$ 上的作用。对于两个这样的系统 $(X,T)$ 与 $(Y,S)$ 以及因子映射 $\pi : X \rightarrow Y$，中间因子是指一个拓扑动力系统 $(Z,R)$，使得 $\pi$ 可写为因子映射 $\psi : X \rightarrow Z$ 与 $\varphi : Z \rightarrow Y$ 的复合。本文证明：对任意可数顺从群 $G$、任意 $G$-子移位 $(X,T)$ 与 $(Y,S)$ 以及任意因子映射 $\pi :X \rightarrow Y$，中间子移位因子的熵集合在区间 $[h(Y,S), h(X,T)]$ 中稠密。作为推论，我们还证明若 $(X,T)$ 与 $(Y,S)$ 是零维 $G$-系统，则中间零维因子的熵集合等于区间 $[h(Y,S), h(X,T)]$。我们的证明依赖于一个广义 Marker 引理，其本身可能具有独立意义。