拓扑动力系统中等差数列空间的 pro-nilfactor

对于拓扑动力系统 $(X, T)$、$l\in\mathbb{N}$ 和 $x\in X$，令 $N_l(X)$ 和 $L_x^l(X)$ 分别为对角点 $(x,x,\ldots,x)$（$l$ 次）在作用 $\mathcal{G}_{l}$ 和 $\tau_l$ 下的轨道闭包，其中 $\mathcal{G}_{l}$ 由 $T\times T\times \ldots \times T$（$l$ 次）生成，$\tau_l=T\times T^2\times \ldots \times T^l$。在本文中，我们证明对于极小系统 $(X,T)$ 和 $l\in \mathbb{N}$，$(N_l(X),\mathcal{G}_{l})$ 的极大 $d$-步 pro-nilfactor 为 $(N_l(X_d),\mathcal{G}_{l})$，其中 $\pi_d:X\to X/\mathbf{RP}^{[d]}=X_d,d\in \mathbb{N}$ 为因子映射，$\mathbf{RP}^{[d]}$ 为 $d$ 阶区域近端关系。同时，当 $(X,T)$ 为极小幂零系统时，我们还对几乎处 Haar 测度的 $x$ 计算了 $(L_x^l(X),\tau_l)$ 的 pro-nilfactor。特别地，存在一个极小 $2$-步幂零系统 $(Y,T)$ 和可数集 $\Omega\subset Y$，使得对 $y\in Y\backslash \Omega$，$(L_y^2(Y),\tau_2)$ 的极大等度连续因子不是 $(L_{\pi_1(y)}^2(Y_{1}),\tau_2)$。