零空间结构理论 III：逆极限表示与拓扑动力学

本文是作者[GMV1,GMV2]关于零空间结构理论系列论文的第三部分。零空间是一个紧空间 $X$ 连同满足某些自然公理的闭立方集合 $C^n(X)\subseteq X^{2^n}$, $n=1,2,\ldots$。我们的目标是推广Antol\'in Camarena和Szegedy得到的零空间结构理论，并给出新的证明。我们的主要结果是，在 $C^n(X)$ 对所有 $n$ 均为连通空间的技术性假设下，$X$ 同构（在强意义下）于幂零流形的逆极限。这是Antol\'in Camarena和Szegedy主要结果的直接且轻微的推广。我们还将我们的方法应用于拓扑动力学情形以获得结构定理。具体而言，若 $H$ 是一个群（满足非常温和的拓扑假设）且 $(H,X)$ 是一个极小动力系统，则我们给出了 $X$ 的极大准幂零因子（pronilfactor）的简单刻画。这推广了 $H = \mathbb{Z}$ 的情形（那是Host, Kra和Maass的一个定理），尽管即便在该情形下我们也给出了显著不同的证明。