零空间结构理论 I

本文是作者[GMV2,GMV3]关于Antol\'in Camarena和Szegedy的零空间（nilspace）结构理论系列论文的第一部分。零空间是一个紧空间 $X$ 连同满足某些自然公理的闭立方集合 $C^n(X)\subseteq X^{2^n}$, $n=1,2,\ldots$。Antol\'in Camarena和Szegedy证明了，由这些公理可推出（某些）零空间同构（在强意义下）于幂零流形（nilmanifold）的逆极限。我们项目的目标是为这一理论提供新的自包含处理，并给出在拓扑动力系统中的新应用。本文从高阶傅里叶分析应用的角度对该项目作了介绍。我们定义并解释了与立方空间（cubespace）和零空间相关的基本定义与构造，并发展了弱结构理论，这是零空间主结构定理证明的第一阶段。粗略地说，这断言一个零空间可构造为有限扩张塔，其中每个连续纤维都是紧阿贝尔群。我们还对该理论作了一些微小的创新和推广。特别地，我们考虑了一类称为纤维化（fibration）的映射，它们本质上等价于Antol\'in Camarena和Szegedy所称的纤维满射态射（fiber-surjective morphism），并且针对这些映射我们表述并证明了上述弱结构理论的相对类比。这些结果在项目的其他地方有应用。