通过幂零流形证明所有有限阿贝尔群的逆定理

我们证明了针对所有有限阿贝尔群的 Gowers 范数的首个逆定理，该定理仅使用幂零流形（而非可能更一般的幂零空间）。这在确认 Jamneshan--Tao 猜想方面取得了进展。我们定理中的相关函数是一个投影幂零序列，它通过在一个比原有限阿贝尔群更大的有界阿贝尔群上定义的幂零序列的逐纤维平均得到。该结果在以下意义上是紧的：我们还证明了有界复杂度的 $k$-步投影幂零序列是拥有小 Gowers $U^{k+1}$-范数的真正障碍。该逆定理依赖于关于紧致有限秩（CFR）幂零空间的一个新结果，这是本文的主要贡献：每个 $k$-步 CFR 幂零空间都是 $k$-步幂零流形的因子。这一幂零流形经典理论与较新的幂零空间理论之间的新联系在算术组合学之外也有应用。我们通过一个拓扑动力学的应用来说明这一点，通过证明以下结果来推进 Jamneshan、Shalom 和 Tao 提出的一个问题：每个 $k$ 阶极小 $\mathbb{Z}^\omega$-系统都是 $k$ 阶 $\mathbb{Z}^\omega$-多项式轨道系统逆极限的因子，这些系统是幂零系统的自然推广，作为平移系统的替代方案。