高阶傅里叶分析作为代数理论 III

对于每个自然数 $k$，我们引入了阿贝尔群上函数的 $k$ 阶卷积概念。我们研究了极限情况下函数代数的保卷积自同构群。结果表明，这类群具有 $k$ 幂零因子群，这解释了为什么 $k$ 阶傅里叶分析具有非交换特征。为了在二次情形下演示我们的方法，我们在有限阿贝尔群上发展了一种新的二次表示理论。我们引入了从阿贝尔群到两步幂零流形的二次幂零态射的概念。我们证明了一个结构定理，指出有限阿贝尔群上的任意有界函数可分解为一个结构化部分（即一个幂零态射与一个有界复杂度连续函数的复合）和一个具有小 $U^3$ 范数的随机外观部分。这蕴含了 $U^3$ 范数的一个新的逆定理。（$U^n$（$n>3$）的一般情形将在本系列的下一部分中讨论。）我们指出，我们的框架为有限（或紧）阿贝尔群上的函数创造了有趣的极限对象，这些函数是幂零流形上的可测函数。