自由零空间、双陪集零空间与 Gowers 范数

紧有限秩零空间在面向高阶傅里叶分析的零空间方法中已变得核心，尤其通过其在 Gowers 范数逆定理一般形式中的作用。本文研究这些零空间本身，并联系近期猜想的该逆定理的进一步精炼。我们的第一个主要结果表明，每个紧有限秩零空间都通过取一个自由零空间（基于形如 $\mathbb{Z}^{r}\times \mathbb{R}^s$ 的阿贝尔群的零空间）并对其进行一类可用多项式描述的特定离散群作用商化而得到。我们称这些群作用为“高阶格点作用”，因为它们推广了 $\mathbb{Z}^r\times \mathbb{R}^s$ 中格点的作用。第二个主要结果（依赖于第一个）将每个紧有限秩零空间表示为双陪集空间 $K\backslash G / \Gamma$，其中 $G$ 是一类特定的幂零李群。我们的第三个主要结果将上述结果推广到 $k$ 步紧零空间（未必有限秩），通过将任一此类零空间表示为自由零空间无限乘积的商以及双陪集空间 $K\backslash G/\Gamma$（其中 $G$ 是 $k$ 次幂零 pro-Lie 群）来表示。这些结果将紧零空间的研究向比零空间理论更经典的方向打开，例如拓扑群作用理论。这些结果还需要发展拓扑非紧零空间理论，我们在本文中提供了基础工作。应用包括任意有限阿贝尔群上 Gowers 范数的新逆定理。这些定理是纯群论的，因为相关调和函数基于双陪集空间。这为 Jamneshan-Tao 猜想取得了进展。