特征为$p$的高阶傅里叶分析

本文在素域$\mathbb{F}_p$上的向量空间背景下发展了高阶傅里叶分析的零空间（nilspace）方法，其主要应用于遍历理论。该发展的一个关键前提是确定适于该背景的一类零空间。我们引入此类称为$p$-齐次零空间的对象。我们的主要结果之一以简单的代数性质刻画了这些对象。随后我们证明了关于这些零空间的若干进一步结果，得到一个结构定理：将每个有限$p$-齐次零空间描述为在某个零空间纤维化下，由一个简单的滤过有限阿贝尔$p$-群族中某成员所映出的像。应用包括将遍历$\mathbb{F}_p^\omega$-系统的Host-Kra因子描述为$p$-齐次零空间系统。这使得对这些因子的分析可化为对此类零空间系统的研究，关于因子的核心问题从而成为有限零空间上的纯代数问题。我们举例说明该方法：证明对$k\leq p+1$，第$k$个Host-Kra因子是阶数$\leq k$的Abramov系统，推广了Bergelson-Tao-Ziegler在$k< p$时成立的结果。我们还通过表明上述结构定理给出了$\mathbb{F}_p^n$上Gowers范数的Tao-Ziegler逆定理的新证明，来例证$p$-齐次零空间的效用。