紧阿贝尔群与幂零流形上一致性范数的正则性与逆定理

我们证明了一致性范数正则定理的一般形式，并推导出这些范数的一个逆定理，该逆定理对一类紧幂零空间成立，包括所有紧阿贝尔群以及幂零流形；特别地，我们由此获得了此类定理的首个非阿贝尔版本。我们从立方耦合的一般结构定理导出这些结果，从而将这些结果与 Host-Kra 遍历结构定理统一起来。Host 和 Kra 曾将这种统一作为概念性前景提出。我们的工作还给出了关于幂零空间的新结果。特别地，我们获得了幂零空间态射的一个新的稳定性结果。我们还加强了 Gutman、Manners 和 Varjú 的一个结果，证明有限秩的 $k$ 步紧幂零空间是环面幂零空间（特别地，是连通幂零流形）当且仅当其 $k$ 维立方集连通。我们还证明，若从素数阶循环群到紧有限秩幂零空间的态射充分平衡（即在一定定量且多维意义下等分布），则该幂零空间是环面的。作为应用，我们获得了 Green-Tao-Ziegler 逆定理一个精炼版本的新证明。