Ramsey-Milman 现象、Urysohn 度量空间与极顺从群

在本文中，我们进一步研究拓扑变换群中的测度集中、不动点的存在性以及度量空间的 Ramsey 型定理之间的联系。我们证明，当 Urysohn 普适完备可分度量空间 $\mathbb U$ 的等距群 $\Iso(\U)$ 装备紧开拓扑并作用于任意紧空间时，它有一个不动点。若以任意具有充分齐性的广义 Urysohn 度量空间 $U$ 替代 $\U$，同样结论成立。基于 Uspenskij 最近的一个定理（每个拓扑群都嵌入到形如 $\Iso(U)$ 的拓扑群中），我们的结果意味着每个拓扑群都嵌入到一个极顺从群中（即在对有界右一致连续函数上存在不变乘法平均的群）。作为证明的一部分，我们表明每个拓扑群在某种弱意义下被有限群逼近。我们的技术也给出了无穷正交群极顺从性（在紧集上不动点性质）的一个新证明。反方向地，我们从无穷酉群及 Hilbert 空间等距群的极顺从性的已有结果，推导出 Hilbert 空间度量子空间与球面度量空间的一些 Ramsey 型定理。