$\bigoplus_{p\in P}\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 作用与有限维幂零系统的 Host-Kra 因子

设 $\mathcal{P}$ 为一个可数多重素数集，并令 $G=\bigoplus_{p\in P}\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$。我们研究群 $G$ 上与 Gowers-Host-Kra 半范数相关的通用特征因子。我们证明阶 $<k+1$ 的通用特征因子是有限维 $k$ 步幂零齐性空间之逆极限的一个因子。后者是 $k$ 步幂零系统（nil系统）的对应物，其中齐性群未必是李群。该结果提供了 Host-Kra 与 Ziegler 关于 $\mathbb{Z}$-作用的构造定理的对应结果，并推广了 Bergelson、Tao 与 Ziegler 关于 $\mathbb{F}_p^\omega$-作用的结果。该结果是针对非有限生成且无界挠群之通用特征因子的构造定理的首个实例。作为一个应用，我们给出了 $G$ 中与 $k$ 项等差数列相关的多重遍历平均的 $L^2$-收敛性的另一种证明，并在底空间为幂零齐性系统的特殊情况下导出了该极限的公式。