Gowers-Host-Kra半范数的大值
摘要
有限加法群G上函数f: G -> C的Gowers均匀性范数||f||_{U^k(G)},以及定义在离散区间[N]:={1,...,N}上函数的变体||f||_{U^k([N])},在现代计数大集合内加法模式(如算术级数)的理论中具有重要意义。与这些范数密切相关的是保测系统X=(X, X, μ, T)上可测函数f: X -> C的Gowers-Host-Kra半范数||f||_{U^k(X)}。最近许多工作致力于研究这些Gowers范数具有非平凡大小(例如,对于某个小的η>0,至少为η)的充要条件,这尤其导致了Gowers范数的逆猜想,以及Gowers-Host-Kra半范数的特征因子的Host-Kra分类。在本文中,我们研究了该问题的近极值(或“性质检验”)版本,即当函数的Gowers范数或Gowers-Host-Kra半范数在其幅度的L^∞或L^p约束下几乎达到最大值时。我们的主要结果大致表明,当且仅当f表现得像一个多项式相位(可能局限于定义域的一个子群)时,这种情况才会发生;这可以看作是Russo和Fournier经典结果的高阶类比,也与Blum-Luby-Rubinfeld和Alon-Kaufman-Krivelevich-Litsyn-Ron在有限域上的多项式检验结果相关。我们进一步研究了与2步nil序列相关的U^3范数的情况,并发现存在一个阈值行为,即非平凡的2步nil序列(不与线性或二次相位相关)仅在U^3范数至多为L^∞范数的2^{-1/8}时才出现。
引用
@article{arxiv.1012.3509,
title = {Large values of the Gowers-Host-Kra seminorms},
author = {Tanja Eisner and Terence Tao},
journal= {arXiv preprint arXiv:1012.3509},
year = {2011}
}
备注
52 pages, no figures, to appear, Journal d'Analyse Jerusalem. This is the final version, incorporating the referee's suggestions