奇异测度的 Gowers 范数

Gowers 引入了有界函数 $f:G\rightarrow\mathbb{R}$ 在 Abel 群 $G$ 上的一致性范数 $\|f\|_{U^k(G)}$，旨在为 Szemerédi 定理提供傅里叶理论证明，即正上密度的整数子集包含任意长的等差数列。此后，Gowers 范数在加法组合学内外找到了许多其他用途。$U^k$ 范数是通过算子 $\triangle^k : L^{\infty}(G)\mapsto L^{\infty} (G^{k+1})$ 定义的。在本文中，当 $f$ 是环面 $\mathbb{T}^d$ 上的奇异测度时，我们引入了对象 $\triangle^k f$ 的类比，以及类似的 $\|\mu\|_{U^k}$ 对象。我们提供了 $\triangle^k \mu$ 存在的判据，结果表明这等价于 $\||\mu|\|_{U^k}$ 的有限性，并证明了当 $\mu$ 具有密度 $f$ 且绝对连续时，我们所引入的对象退化为标准的 $\triangle^kf$ 和 $\|f\|_{U^k(\mathbb{T})}$。我们进一步在具有有限 $U^k$ 范数的测度之间引入了高阶内积，并证明了该内积的 Gowers-Cauchy-Schwarz 不等式。