平均意义下等差数列中乘性函数的 Gowers 范数

设 $\mu$ 为 M"{o}bius 函数，且 $k \geq 1$。我们证明，限制于等差数列 $\{n \leq X: n\equiv a_q\pmod{q}\}$ 的 $\mu$ 的 Gowers $U^k$-范数，在对任意 $\sigma > 0$ 满足 $q\leq X^{1/2-\sigma}$ 的 $q$ 平均意义下为 $o(1)$，其中 $a_q\pmod{q}$ 是满足 $(a_q,q) = 1$ 的任意剩余类。这推广了 $\mu$ 的 Bombieri-Vinogradov 不等式，后者对应于特例 $k=1$。