关于单叶函数的 Bombieri 猜想的反例

Bombieri 猜想断言：当归一化单叶函数 $f$ 趋近于 Koebe 函数 $K(z)=\frac{z}{(1-z)^2}$ 时，其系数应满足 $$\liminf_{f\to K} \frac{n-{\rm Re\,}a_n}{m-{\rm Re\,}a_m} = \min_{t\in{\mathbb R}} \, \frac{n\sin t -\sin(nt)}{m\sin t -\sin(mt)},$$ 最近，Leung 推翻了 $n=2$ 且所有 $m\geq3$ 以及 $n=3$ 且所有奇数 $m\geq5$ 的情况。在补充其工作的基础上，我们推翻了所有同时为奇数或同时为偶数的 $m>n\geq2$ 的情况，以及 $m$ 为奇数、$n$ 为偶数且 $n\leq \frac{m+1}{2}$ 的情况。我们主要利用三角学，同时也使用了 Dieudonn\'e 关于多项式单叶性的判据。