Reiner与Stanton 1998年单峰性猜想的一个推广

Reiner与Stanton提出的一个有趣且仍远未解决的猜想预测，某些“奇异”的 $q$-二项式系数的对称差总是非负且单峰的。我们将他们的猜想推广到一个更宽泛、或许更自然的框架，猜想对每个 $k\ge 5$，多项式 $$f(k,m,b)(q)=\binom{m}{k}_q-q^{\frac{k(m-b)}{2}+b-2k+2}\cdot\binom{b}{k-2}_q$$ 对所有 $m\gg_k 0$ 与 $b\le \frac{km-4k+4}{k-2}$ 且满足 $kb\equiv km$ (mod 2) 均为非负且单峰的，唯一的例外是当 $b=\frac{km-4k+2}{k-2}$ 为整数时。利用KOH定理，我们从组合上证明了 $k=5$ 的情形。事实上，我们完全刻画了 $k\le 5$ 时 $f(k,m,b)$ 的非负性与单峰性。(这也给出了当 $k=3$ 时Reiner-Stanton猜想的一个孤立反例。)进一步，我们证明对每个 $k$ 与 $m$，只需对最大的 $2k-6$ 个 $b$ 值证明我们的猜想即可。