关于 Heim 和 Neuhauser 的 Nekrasov-Okounkov 多项式单峰性猜想

令 $Q_n(z)$ 为与 Nekrasov-Okounkov 公式相关的多项式 $$\sum_{n\geq 1} Q_n(z) q^n := \prod_{m = 1}^\infty (1 - q^m)^{-z - 1}.$$ 本文中我们部分回答了 Heim 和 Neuhauser 的一个猜想，该猜想询问是否对所有 $n \geq 1$，$Q_n(z)$ 是单峰的，或更强地，是对数凹的。通过一个新递推公式，我们证明若 $A_{n,k}$ 是 $Q_n(z)$ 中 $z^k$ 的系数，则 $A_{n,k}$ 在 $k$ 上对于 $k \ll n^{1/6}/\log n$ 是对数凹的，且对于 $k \gg \sqrt{n}\log n$ 是单调递减的。我们还提出了一个有可能弥合缺口的猜想。