Hermite-Jensen 极限与 q 多项式系数的 d 对数凹性

1878 年，Sylvester 证明了 Cayley 猜想，即高斯 q 二项式系数的系数是单调的。1990 年，O'Hara 首次发现了一种构造性的组合论证明；2013 年，Pak 和 Panova 证明了在参数足够大时，严格的单调性成立。我们从单调性转向对数凹性和更高阶的 d 对数凹性（即 Turán 不等式）。虽然 q 二项式系数并不总是对数凹或 d 对数凹，但自然会问到这些不等式在何种程度上成立。在具有有限且远离 0 或 1 的极限比例的无限系列中，我们证明这些更强的不等式在每个 $C>0$ 时都在中心窗口 $|m-\mu|<C\sigma$ 下均匀成立，其中 $\mu$ 和 $\sigma$ 分别是归一化分布的均值和标准差。更一般地，我们对 q 多项式系数也得出相同的结论。这些结果源于归一化 Jensen 多项式的渐近行为，这些多项式被赫姆齐多项式所近似。