高斯多项式单峰性的统一处理方法

2013 年，Pak 和 Panova 基于 Young 表 combinatorics 与 Kronecker 系数的半群性质，证明了 $q$-二项式系数 $\binom{\ell+m}{m}_q$（作为 $q$ 的多项式）的严格单峰性。他们证明该性质对所有 $\ell,m\geq 8$ 以及少数其他情况成立。我们提出了一种基于计算机代数处理该问题的不同方法，其中我们建立了这些多项式系数的闭式表达，然后使用柱形代数分解精确识别严格单峰性成立的系数范围。该策略使我们能够处理该问题的推广，例如证明具有更大间隔的单峰性或相关序列的单峰性。特别地，我们给出了 Stanley 和 Zanello 猜想的另外两种情形的证明。