关于 $q$-Catalan 多项式的奇偶性单峰性

若多项式 $A(q)=\sum_{i=0}^n a_iq^i$ 满足 $a_0\le a_1\le \cdots \le a_k\ge a_{k+1} \ge \cdots \ge a_n$,则称其为单峰的。我们研究有理 $q$-Catalan 多项式 $C_{m,n}(q)= \frac{1}{[n+m]} \left[ m+n \atop n\right]$(其中 $(m,n)$ 为互素正整数对)的单峰性。我们猜想它们关于奇偶性单峰,等价地,$(1+q)C_{m+n}(q)$ 是单峰的。利用生成函数与常数项方法,我们直接验证了 $m\le 5$ 时的猜想。