Catalan 三角形数的幂和

在本文中，我们考虑组合数 $C_{m, k}$（$m\ge 1$, $k\ge 0$），它对于适当参数 $m$ 和 $k$ 统一了 Catalan 三角形 $B_{n, k}$ 和 $A_{n, k}$ 的条目，即 $B_{n, k}=C_{2n,n-k}$ 且 $A_{n, k}=C_{2n+1,n+1-k}$。事实上，其中一些数是著名的 Catalan 数 $C_n$，即 $C_{2n,n-1}=C_{2n+1,n}=C_n$。我们给出 $C_{m,k}$ 的递推关系、线性和与交错和的新恒等式。之后，我们检验 $C_{m,k}$ 以及进而 $B_{n, k}$ 和 $A_{n, k}$ 的平方和与立方和（及交错和）。特别地，其中一个等式解决了 \cite{[GHMN]} 中提出的开放问题。我们还给出涉及调和数 $H_n$ 与 Catalan 三角形数 $C_{m,k}$ 的一些线性恒等式。最后，在最后一节猜想了涉及 $C_n$ 的新的开放问题与恒等式。