与 Reiner 和 Stanton 单峰性定理相关的二元型半不变量

Reiner 和 Stanton 引入了 $q$-二项式系数 $F_{n,k}(q)={n+k\brack k}-q^{n}{n+k-2\brack k-2}$ 的对称差。他们利用李代数的表示理论证明了当 $k \geq 2$ 且 $n$ 为偶数时 $F_{n,k}(q)$ 是对称且单峰的。基于 Sylvester 对高斯系数单峰性（由 Cayley 猜想）的证明，我们给出了 $F_{n,k}(q)$ 单峰性的半不变量解释。受 Pak 和 Panova 关于高斯系数严格单峰性的工作启发，我们证明了对称差 $G_{n,k,r}(q)={n+k\brack k}-q^{nr/2}{n+k-r\brack k-r}$（除两端两项外）的严格单峰性，其中 $n,r\geq8$，$k\geq r$，且 $n$ 与 $r$ 中至少有一个为偶数。