交换置换元组的一个双射及一个对数凹性猜想

令 $A(\ell,n,k)$ 表示 $n$ 个元素的 $\ell$ 个交换置换组成的元组的数量，其置换作用恰好产生 $k$ 个轨道或连通分支。我们对本质上源于 Bryan 和 Fulman 在关于 orbifold 高阶等变欧拉示性数工作中给出的 $A(\ell,n,k)$ 显式公式提供了一种新的证明。我们的证明是自包含的、初等的，并依赖于构造一个显式双射，以执行 $\ell+1\rightarrow \ell$ 归约。我们还研究了第一作者关于 $A(\ell,n,k)$ 相对于 $k$ 的对数凹性猜想。该猜想推广了 Heim 和 Neuhauser 先前关于 Nekrasov-Okounkov 公式的一个猜想。