长轮换分解的双射与对称性

我们研究将轮换 $(1,2,...,n)$ 分解为具有给定轮换类型的 $k$ 个因子的分解。利用表示论，Jackson 针对每个 $k$ 得到了一个优雅的公式，根据每个因子的轮换个数对这些分解进行计数。在 $k=2,3$ 的情形下，Schaeffer 和 Vassilieva 给出了 Jackson 公式的组合证明，而 Morales 和 Vassilieva 得到了展现出惊人对称性质的更精细公式。这些计数结果暗示了一种至今仍难以捉摸的丰富组合理论，本文的目标是建立一系列双射，以揭示将 $(1,2,...,n)$ 分解为 $k$ 个因子的分解对于所有 $k$ 的一些组合性质。我们由此得到了 Jackson 公式的精细化，推广了 Morales 和 Vassilieva 处理的 $k=2,3$ 情形。我们的双射以“星座图（constellations）”来描述，它们是嵌入在曲面中、编码轮换可迁分解的图。