全循环的 $k$-分解与 $k$-森林上的广义 Mahonian 统计量

我们建立了长循环 $(0\,1\,\cdots\, kn)$ 分解为 $(k+1)$-循环因子的最小分解集合 $F_n^k$ 与顶点集为 $\{1,\ldots,n\}$、边以 $\{0,1,\ldots,k-1\}$ 着色的带标号有根森林集合 $R_n^k$ 之间的直接双射，并将前者上的自然统计量映射为后者上的广义 Mahonian 统计量。特别地，我们考察了森林 $R_n^k$ 上的广义 major index，并表明它在分解的背景下具有简单而自然的解释。我们的结果推广了本文作者（2021）通过不同方法处理的 $k=1$ 情形，并为 Yan（1997）观察到的 $k$-停车函数的位移与 $k$-森林的广义逆序数之间的等分布性提供了双射证明。