树、停车函数与骨架理想的规范单项式

停车函数是一类被广泛研究的组合对象,与数学的多个分支有联系。在代数方面,停车函数可识别为$M_n$的规范单项式,这是多项式环$S = {\mathbb K}[x_1, \dots, x_n]$中的某个单项式理想,其生成元集合由$[n] = \{1,2,\dots,n\}$的非空子集索引。受图上筹码燃烧理论的构造启发,我们研究由$M^{(k)}_n$决定的停车函数推广,它是$M_n$的子理想,仅允许对应于$[n]$中大小不超过$k$的子集的生成元。对每个$k$,$M^{(k)}_n$的规范单项式集合记为$\text{stan}_n^k$,它包含通常的停车函数,并且自身具有有趣的组合性质。对一般的$k$,我们证明$\text{stan}_n^k$的元素可恢复为某种向量停车函数,这进而借助Yan的结果给出其计数的公式。对称群$S_n$自然作用于集合$\text{stan}_n^k$,我们也给出了该作用下轨道数的公式。对$k = n-2$的情形,我们研究$\text{stan}_n^{n-2}$的组合解释,并将其与拔根树在根度与表面反序方面的性质相联系。作为推论,我们得到一个涉及Catalan数的$n^n$的组合恒等式,令人想起Benjamin和Juhnke的结果。对$k = 1$的情形,我们观察到$\text{stan}_n^1$的元素个数由约化'无符号'Laplacian的行列式给出,这针对$|\text{stan}_n^1|$给出了以称为'生成TU子图'的广义生成树表示的加权计数。我们的构造自然推广到任意图并引出若干开放问题。