某些图的骨架理想、标准单项式与球面停泊函数

设 $G$ 为顶点集 $V = \{ 0, 1,\ldots,n\}$ 上以 $0$ 为根的有向（或无向）图。Postnikov 与 Shapiro 在域 $\mathbb{K}$ 上的多项式环 $R = {\mathbb{K}}[x_1,\ldots,x_n]$ 中关联了一个单项式理想 $\mathcal{M}_G$。由 $\widetilde{V}=V\setminus \{0\}$ 中大小不超过 $k+1$ 的子集生成的 $\mathcal{M}_G$ 的子理想 $\mathcal{M}_G^{(k)}$ 称为图 $G$ 的 $k$-骨架理想。Dochtermann 对若干类简单图 $G$ 的 $1$-骨架理想 $\mathcal{M}_G^{(1)}$ 获得了许多有趣的同调与组合性质。有限序列 $\mathcal{P}=(p_1,\ldots,p_n) \in \mathbb{N}^n$ 若满足单项式 $\mathbf{x}^{\mathcal{P}} = \prod_{i=1}^{n} x_i^{p_i} \in \mathcal{M}_G \setminus \mathcal{M}_G^{(n-2)}$，则称为球面 $G$-停泊函数。令 ${\rm sPF}(G)$ 为所有球面 $G$-停泊函数的集合。本文给出了 $V$ 上完全图 $K_{n+1}$ 的 $k$-骨架理想 $\mathcal{M}_{K_{n+1}}^{(k)}$ 的所有多重分次 Betti 数的组合描述。此外，利用 Perkinson-Yang-Yu（针对简单图）与 Gaydarov-Hopkins（针对多重图）的 DFS 燃烧算法，我们对从完全图 $K_{n+1}$ 删去一条边 $e$ 所得的图 $G = K_{n+1}- \{e\}$ 的球面 $G$-停泊函数给出了组合解释。特别地，我们证明了对于经过根 $0$ 的边 $e_0$ 有 $|{\rm sPF}(K_{n+1}- \{e_0\} )|= (n-1)^{n-1}$，而对于不经过根的边 $e_1$ 有 $|{\rm sPF}(K_{n+1} - \{e_1\})| = (n-1)^{n-3}(n-2)^2$。