多重图 $1$-骨架理想的标准单项式

给定顶点集为 $\{0,1,\ldots,n\}$、根顶点为 $0$ 的图 $G$，Postnikov 与 Shapiro 联系了多项式环 $R=\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]$（$\mathbb{K}$ 为域）中的一个单项式理想 $\mathcal{M}_G$，使得 $\dim_{\mathbb{K}}(R/\mathcal{M}_G)=\det\widetilde L_G$，其中 $\widetilde L_G$ 为 $G$ 的截断拉普拉斯矩阵。Dochtermann 引入了 $\mathcal{M}_G$ 的 $1$-骨架理想 $\mathcal{M}_G^{(1)}$，其满足性质 $\dim_{\mathbb{K}}(R/\mathcal{M}_G^{(1)})\ge\det\widetilde Q_G$，其中 $\widetilde Q_G$ 为 $G$ 的截断无符号拉普拉斯矩阵。在本文中，我们刻画了多重图 $K_{n+1}^{a,1}$ 的所有子图，特别是所有简单图 $G$，使得 $\dim_{\mathbb{K}}(R/\mathcal{M}_G^{(1)})=\det\widetilde Q_G$。此外，我们给出完全多重图 $K_{n+1}^{a,b}$ 的子图 $G$ 的例子，其中等式 $\dim_{\mathbb{K}}(R/\mathcal{M}_G^{(1)})=\det\widetilde Q_G$ 成立。我们还就满足上述等式的一般多重图的结构提出了一个猜想。