对称群中长循环乘积研究的一种通用组合方法
组合数学
2022-08-04 v1
摘要
在对称群中，对满足特定条件的置换分解或置换三元组的研究有着悠久的历史。一个特别有趣的情形是其中两个涉及的置换为长循环，对此已得到许多惊人简单的公式。本文组合地枚举了乘积具有给定循环型且分离某些元素的长循环对，拓展了多条研究线索，并得到了一般性的定量关系。作为结果，我们以统一的方式恢复了若干期待简单组合证明的结论，包括 Boccara (1980)、Zagier (1995)、Stanley (2011)、Féray 与 Vassilieva (2012) 以及 Hultman (2014) 的结果。我们也得到了若干新结果。特别地，我们首次对于给定的集合划分，给出了该集合上长循环对的显式公式，使得这些长循环的乘积不混合划分中不同块的元素，并且对每个元素块具有独立预先指定的循环数。作为应用，我们得到了关于任意偶置换分解为长循环的新显式公式，以及用于计算强分离概率的第一个非平凡显式公式，解决了 Stanley (2010) 的一个开放问题。
引用
@article{arxiv.1910.03571,
title = {A versatile combinatorial approach of studying products of long cycles in symmetric groups},
author = {Ricky X. F. Chen},
journal= {arXiv preprint arXiv:1910.03571},
year = {2022}
}
备注
12 pages, a draft extended abstract, comments are welcome. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:1909.13388; text overlap with arXiv:1910.01029