长轮换的乘积：短轮换依赖性与分离概率

我们提出了关于对称群中轮换相乘的各种结果。我们的第一个结果是对 Boccara (1980) 以下定理的推广：在 $n$ 个符号的对称群中，将一个奇置换写为一个 $n$-轮换和一个 $n-1$-轮换的乘积的方式数目与所选的置换无关。我们给出了多种推广该结果的方法。其中一种部分证明使用了归纳法，我们也将其应用于其他问题。特别是，我们给出了固定长度轮换的所有乘积中轮换数量分布的公式。另一个应用与 Bernardi、Du、Morales 和 Stanley (2014) 引入的近期关于置换的分离概率（separation probabilities）概念有关。